Многоугольник

Многоугольник*

 

 

1. В математике: геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией.
2. Геометрическая фигура имеющая больше четырех углов.

Многоугольник**-линия, которая получается, если взять n любых точек А₁, А₂, ..., А_n и соединить прямолинейными отрезками каждую из них с последующей, а последнюю с первой (рис.1, а, б). Точки А₁, А₂, ..., А_n называются вершинами многоугольника, а отрезки А₁А₂, А₂А₃,..., А_n-1А_n, А_nА₁ - его сторонами. Далее рассматриваются только плоские многоугольники (т.е. предполагается, что многоугольник лежит в одной плоскости).

 

a)б)
в)г)
Рисунок 1

Многоугольник может сам себя пересекать (рис. 1,в), причем точки пересечения могут не быть его вершинами.
Существуют и другие точки зрения на то, что считать многоугольником. Многоугольником можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит на конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. Многоугольник в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (рис. 1, г), т. е. такой многоугольник может иметь «многоугольные дыры». Рассматриваются также бесконечные многоугольники — части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.
Дальнейшее наложение опирается на данное выше первое определение многоугольника.
Если многоугольник не пересекает сам себя (см., напр., рис. 1, а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на нём не лежащих, на две части — конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если две точки принадлежат одной из этих частей, то их можно со соединить друг с другом ломаной, не пересекающей многоугольник, а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана для многоугольника). Внутренняя по отношению к многоугольнику часть плоскости имеет определенную площадь. Если многоугольник — самопересекающийся то он разрезает плоскость на определенное число кусков, из которых один бесконечный (называется внешним по отношению к многоугольнику), а остальные конечные односвязные (называется внутренними), причем граница каждого из них есть некоторый самонепересекающийся многоугольник стороны, которого суть целые стороны или части сторон, а вершины — вершины или точки самопересечения данного многоугольника. Если каждой стороне многоугольника приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её началом, а какую — концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится (замкнутый) многоугольный путь, или ориентированный многоугольник. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным многоугольник, считается положительной, если контур многоугольника обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность многоугольника остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной — в противоположном случае.
Пусть многоугольник самопересекающийся и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней во отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, многоугольник пересекает этот отрезок р раз слева направо q раз справа налево, то число р—q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и называется коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэффициенты, считается «площадью» рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного многоугольника).
Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося многоугольника с n сторонами равна (n—2) 180⁰. Многоугольник. наз. выпуклым (рис. 1, а), если никакая сторона многоугольника, будучи неограниченно продолженной, не разрезает многоугольник на две части. Выпуклый многоугольник можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри многоугольника, не пересекает многоугольник. Всякий выпуклый многоугольник - самонепересекающийся, но не наоборот. Например, на рис. 1, б изображён самонепересекающийся многоугольник, который не является выпуклым, так как отрезок PQ, соединяющий некоторые его внутренние точки, пересекает многоугольник.
Важнейшие многоугольники: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные равносторонние (правильные); четырехугольника, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый многоугольник называется - правильным, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить циркулем и линейкой правильные многоугольники только в том случае, если число сторон многоугольника равно m=3*2ⁿ, 4*2ⁿ, 5*2ⁿ, 3*5*2ⁿ, где n — любое положительное число или нуль. К. Гаусс (1804) показал, что можно построить циркулем и линейкой правильный многоугольник, когда число его сторон имеет вид m=2ⁿ *p₁*p₂*…*p_k, где p₁*p₂*…*p_k - различные гауссовы простые числа, т. е. простые числа вида р=2^2s+1 (s — целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р=3, 5, 17, 257, 65337. Из теории Галуа следует, что никаких других правильных многоугольников кроме указанных К. Гауссом, построить циркулем и линейкой нельзя. Таким образом, построение возможно при m=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20. 24, 32, 34, . . и невозможно при m=7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, …
В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного n-угольника (для n=3, 4, 5. 6. 8, 10),сторона которого равна k.

 

Число сторон	Радиус описанной окружности	Радиус вписанной окружности	Площадь
3
4
5
6
8
10

Начиная с пятиугольника, существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, или звезчатые) в правильные многоугольники, т. е. такие, что все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном и том же направлении на один в тот же угол по отношению к предыдущей. Все вершины такого многоугольника также лежат на одной окружности. Такова, напр., пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые так в невыпуклые) многоугольники от треугольника до семиугольника.

 

Определение 1. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины ломаной, называются диагоналями.
Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами называется n-угольником. Плоским многоугольником или многоугольной областью называется часть плоскости, ограниченная многоугольником. При этом считается, что стороны многоугольника не принадлежат плоскому многоугольнику.
Определение 2.Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Сумма длин всех сторон многоугольника составляет его периметр.
Теорема 1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°•(n - 2) градусов.
Доказательство: Многоугольников с n меньше трех не существует. При n = 3 многоугольник есть треугольник, и сумма его углов действительно равна 180°. Пусть n>3, A₁A₂A₃ … A_n - данный многоугольник. Проведем n - 3 диагонали: A₁A₃,A₁A₄, A₁A₅,…, A₁A_n-1 (рис. 1). Этот многоугольник выпуклый, а значит, эти диагонали разбивают его на n-2 треугольника: ΔA₁A₂A₃, ΔA₁A₃A₄,…, ΔA₁A_n-1A_n. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов этих треугольников. А сумма углов n - 2 треугольников есть 180°•(n - 2). Теорема доказана.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.
Теорема 1.1. Сумма внешних углов многоугольника есть 360°.
Определение 3. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Определение 4. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
Определение 5. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Теорема 2. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным и описанным около окружности. Центр вписанной и описанной окружностей совпадают.
Доказательство: Пусть A, B и C - три соседние вершины правильного многоугольника (рис. 2). Проведем биссектрисы углов A и B. Пусть O - точка их пересечения. BO - биссектриса угла B, а значит угол ABO равен углу CBO. Также AB=BC, BO=BO. Следовательно, ?ABO = ?CBO, а значит AO=BO, BO=CO, то есть окружность с центром в точке O, проходящая через точки A и B, проходит через точку C.
Аналогично доказывается, что эта окружность проходит через остальные вершины многоугольника. Итак, O - центр окружности, описанной около многоугольника. Следовательно, точка O равноудалена от концов всех сторон этого многоугольника. Значит, точка O лежит всех серединных перпендикулярах, проведенных к сторонам данного многоугольника. Значит, все серединные перпендикуляры к сторонам многоугольника пересекаются в точке O. Так как треугольники AOB и BOC равны, расстояние от точки O до прямых AB и BC равны. Аналогично доказывается, что точка O равноудалена от других сторон данного многоугольника. Следовательно, O - центр окружности, вписанной в многоугольник. Значит, центры вписанной и описанной около данного многоугольника окружности, совпадают. Теорема доказана полностью.

Вписанные и описанные многоугольники Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности. Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон. Вписанный многоугольник   Описанный многоугольник Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность. Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них   Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность. Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей. Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей. Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.